EL TEOREMA DE BOLZANO

Berhard Bolzano (1781-1848) nació y murió en Praga en cuya universidad se doctoró. Fue ordenado sacerdote católico en 1804. Desempeñó funciones docentes en la universidad de Praga como profesor de religión y de teología. Sus ideas pacifistas y antimilitaristas le costaron el puesto.

Su ejemplo de función continua y no derivable en ningún punto es anterior al de Weierstrass. Sus escritos pasaron desapercibidos y no tuvieron, en su mayor parte, repercusión hasta finales del s. XIX.

El Teorema de Bolzano establece que toda función continua en un intervalo que cambie de signo en los extremos del mismo, necesariamente tiene que tener, al menos un corte al eje de abscisas.

El resultado es bastante intuitivo y de fácil comprensión, pero con consecuencias no tan triviales. Como mostraremos más adelante.

Destacar que es importante cada una de las hipótesis y que, no podemos debilitarlas para exigir que se cumpla la tesis

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1. La hipótesis de continuidad sobre el intervalo es imprescindible, basta pensar por ejemplo en la función signo sobre [-2,2].

2. La hipótesis de signos diferentes en los extremos también es necesaria, ya que si no cambia de signo no podemos pensar que “toque” al eje OX. Basta considerar cualquier función cuadrática que tenga recorrido por ejemplo [1,→).

El Teorema de Bolzano tiene múltiples consecuencias, entre las que destacan:

                             •Teorema de los valores intermedios.

                             •Teorema del punto fijo.

                             •Lema de las cuerdas.

Además proporciona un procedimiento para calcular las raíces de una ecuación no lineal, f(x)=0, el método de bipartición.

La siguiente animación ilustra el método de bipartición que está inspirado en el Teorema de Bolzano

Enlaces de interés:

1. El Teorema de Bolzano con el applet Descartes
2. El método  de Bipartición

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